What are Prime Numbers in hind?

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What are Prime Numbers in hind? 1 से बड़ी एक पूर्ण संख्या होती है जिसका एकमात्र गुणनखंड 1 और स्वयं होता है। गुणनखंड एक पूर्ण संख्या है जिसे किसी अन्य संख्या में समान रूप से विभाजित किया जा सकता है।

पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं। जिन संख्याओं में दो से अधिक गुणनखंड होते हैं उन्हें भाज्य संख्याएँ कहा जाता है। संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त।

अभाज्य संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनमें केवल दो गुणनखंड होते हैं, अर्थात 1 और स्वयं संख्या। संख्या 5 के एक उदाहरण पर विचार करें, जिसके केवल दो गुणनखंड 1 और 5 हैं। इसका मतलब है कि यह एक अभाज्य संख्या है।

आइए संख्या 6 का एक और उदाहरण लें, जिसके दो से अधिक गुणनखंड हैं, यानी 1, 2, 3 और 6। इसका मतलब है कि 6 एक अभाज्य संख्या नहीं है। अब, यदि हम संख्या 1 का उदाहरण लें, तो हम जानते हैं कि इसका केवल एक ही गुणनखंड है।

यह एक अभाज्य संख्या नहीं हो सकती क्योंकि एक अभाज्य संख्या में ठीक दो गुणनखंड होने चाहिए। इसका मतलब है कि 1 न तो अभाज्य संख्या है और न ही भाज्य संख्या, यह एक अद्वितीय संख्या है।

प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए, उदाहरण के लिए “पी”, एक अभाज्य संख्या मौजूद होती है जो पी से बड़ी होती है, जिसे पी’ कहा जाता है। यह गणितीय प्रमाण, जिसे प्राचीन काल में ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रदर्शित किया गया था, इस अवधारणा को मान्य करता है कि कोई “सबसे बड़ी” अभाज्य संख्या नहीं है।

जैसे-जैसे प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N = {1, 2, 3, …} आगे बढ़ता है, अभाज्य संख्याएँ आम तौर पर कम होती जाती हैं और उचित समय में खोजना अधिक कठिन हो जाता है।

What are Prime Numbers in hind?

ठीक दो गुणनखंडों के साथ 1 से बड़ी संख्या, अर्थात 1 और वह संख्या स्वयं एक अभाज्य संख्या है। उदाहरण के लिए, 7 के केवल 2 गुणनखंड हैं, 1 और 7। अतः, यह एक अभाज्य संख्या है। हालाँकि, 6 के चार गुणनखंड हैं, 1, 2, 3 और 6. इसलिए, यह एक अभाज्य संख्या नहीं है। यह एक भाज्य संख्या है।

अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक पूर्ण संख्या होती है जिसमें केवल दो गुणनखंड होते हैं – स्वयं और 1। एक Prime number को remainder, decimal या अंश छोड़े बिना किसी अन्य positive पूर्णांक से विभाजित नहीं किया जा सकता है।

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संख्या सिद्धांत में गणितज्ञों द्वारा अभाज्य संख्याओं को अक्सर ‘निर्माण खंड’ के रूप में देखा जाता है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि एक संयुक्त संख्या को अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

Prime Numbers in hind?

अभाज्य संख्या 1 से बड़ी एक पूर्ण संख्या होती है जिसका एकमात्र गुणनखंड 1 और स्वयं होता है। गुणनखंड एक पूर्ण संख्या है जिसे किसी अन्य संख्या में समान रूप से विभाजित किया जा सकता है।

पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 और 29 हैं। जिन संख्याओं में दो से अधिक गुणनखंड होते हैं उन्हें भाज्य संख्याएँ कहा जाता है। संख्या 1 न तो अभाज्य है और न ही संयुक्त।

अभाज्य संख्याओं का उपयोग कई कारणों से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कुछ प्रकार की क्रिप्टोग्राफी अभाज्य संख्याओं का उपयोग करेगी।

प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए, उदाहरण के लिए “पी”, एक अभाज्य संख्या मौजूद होती है जो पी से बड़ी होती है, जिसे पी’ कहा जाता है।

यह गणितीय प्रमाण, जिसे प्राचीन काल में ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रदर्शित किया गया था, इस अवधारणा को मान्य करता है कि कोई “सबसे बड़ी” अभाज्य संख्या नहीं है।

जैसे-जैसे प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N = {1, 2, 3, …} आगे बढ़ता है, अभाज्य संख्याएँ आम तौर पर कम होती जाती हैं और उचित समय में खोजना अधिक कठिन हो जाता है।

यह कैसे निर्धारित करें कि कोई number prime है

एक कंप्यूटर का उपयोग अत्यधिक बड़ी संख्याओं का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है ताकि यह देखा जा सके कि वे अभाज्य हैं या नहीं।

क्योंकि इसकी कोई सीमा नहीं है कि कोई प्राकृतिक संख्या कितनी बड़ी हो सकती है, हमेशा एक ऐसा बिंदु होता है जहां इस तरीके से परीक्षण करना बहुत बड़ा काम हो जाता है – यहां तक ​​कि सबसे शक्तिशाली सुपर कंप्यूटर के लिए भी।

उदाहरण के तौर पर, 2018 के दिसंबर में सबसे बड़ी ज्ञात अभाज्य संख्या 24,862,048 अंक थी।

अधिक बड़ी अभाज्य संख्याएँ उत्पन्न करने के प्रयास में विभिन्न एल्गोरिदम तैयार किए गए हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि “n” एक पूर्ण संख्या है, और यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि n अभाज्य है या भाज्य है। सबसे पहले, n का वर्गमूल — या 1/2 घात — लें; फिर इस संख्या को अगली उच्चतम पूर्ण संख्या तक पूर्णांकित करें और परिणाम m पर कॉल करें। फिर निम्नलिखित सभी भागफल ज्ञात कीजिए:

qm = n / m

q(m-1) = n / (m-1)

q(m-2) = n / (m-2)q(m-3) = n / (m-3)
. . .

q3 = n / 3

q2 = n / 2

संख्या n अभाज्य है यदि – और केवल तभी – ऊपर दिए गए q में से कोई भी पूर्ण संख्या नहीं है।
मेरसेन और फ़र्मेट प्राइम्स

मेरसेन प्राइम एक संख्या है जिसे 2 n – 1 के रूप में घटाया जाना चाहिए, जहां n एक अभाज्य संख्या है।

n के पहले कुछ ज्ञात मान जो मेर्सन अभाज्य उत्पन्न करते हैं वे हैं जहाँ n = 2, n = 3, n = 5, n = 7, n = 13, n = 17, n = 19, n = 31, n = 61, और एन = 89.

फ़र्मेट प्राइम एक फ़र्मेट संख्या है जो अभाज्य भी है। एक फ़र्मेट नंबर F n 2 m + 1 के रूप का होता है, जहाँ m 2 की घात को दर्शाता है – अर्थात, m = 2 n, और जहाँ n एक पूर्णांक है।

Prime numbers and cryptography

एन्क्रिप्शन हमेशा एक मौलिक नियम का पालन करता है: एल्गोरिदम – या उपयोग की जा रही वास्तविक प्रक्रिया – को गुप्त रखने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन कुंजी को गुप्त रखने की आवश्यकता नहीं है।

कुंजी बनाने के लिए अभाज्य संख्याएँ बहुत उपयोगी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, सार्वजनिक/निजी कुंजी एन्क्रिप्शन की ताकत इस तथ्य में निहित है कि दो यादृच्छिक रूप से चुने गए अभाज्य संख्याओं के उत्पाद की गणना करना आसान है।

हालाँकि यह निर्धारित करना बहुत कठिन और समय लेने वाला हो सकता है कि एक अत्यंत बड़े उत्पाद को बनाने के लिए किन दो अभाज्य संख्याओं का उपयोग किया गया था, जब केवल उत्पाद ही ज्ञात हो।

आरएसए (रिवेस्ट-शमीर-एडलमैन) में, जो सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी का एक प्रसिद्ध उदाहरण है, अभाज्य संख्याओं को हमेशा अद्वितीय माना जाता है।

हालाँकि डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज और डिजिटल सिग्नेचर स्टैंडर्ड (डीएसएस) क्रिप्टोग्राफी योजनाओं द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्राइम को अक्सर मानकीकृत किया जाता है और बड़ी संख्या में अनुप्रयोगों द्वारा उपयोग किया जाता है।


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